前缀和

2021-09-19

前缀和

前缀和其实就是高中数学里数列的前n项和

当题目需要计算数组某个连续范围的和时，利用前缀和可以避免重复计算，以免TLE

一维前缀和

$$
定义式：sum[i] = \sum_{j = 0}^{i} array[j] \
递推式:sum[i] = sum[i-1]+array[i]
$$

二维前缀和

$$
定义式：sum[x][y] = \sum_{i = 0}^{x} \sum_{j = 0}^{y} array[i][j] \递推式: sum[x][y] = sum[x-1][y]+sum[x][y-1]-sum[x-1][y-1]+array[x][y]
$$

实例

待处理的灰度图像长宽皆为 n 个像素，可以表示为一个 n×n 大小的矩阵 A，其中每个元素是一个 [0,L) 范围内的整数，表示对应位置像素的灰度值。
对于矩阵中任意一个元素 $A_{ij}（0≤i,j<n）$，其邻域定义为附近若干元素的集和：
$$
Neighbor(i,j,r)={A_{xy}|0≤x,y<n \ and |x−i|≤r \ and |y−j|≤r}
$$

这里使用了一个额外的参数 r 来指明 Aij 附近元素的具体范围。根据定义，易知 Neighbor(i,j,r) 最多有 (2r+1)2 个元素。

如果元素 Aij 邻域中所有元素的平均值小于或等于一个给定的阈值 t，我们就认为该元素对应位置的像素处于较暗区域。
下图给出了两个例子，左侧图像的较暗区域在右侧图像中展示为黑色，其余区域展示为白色。

现给定邻域参数 r 和阈值 t，试统计输入灰度图像中有多少像素处于较暗区域。

输入格式

输入共 n+1 行。

输入的第一行包含四个用空格分隔的正整数 n、L、r 和 t，含义如前文所述。

第二到第 n+1 行输入矩阵 A。
第 i+2（0≤i<n）行包含用空格分隔的 n 个整数，依次为 Ai0,Ai1,⋯,Ai(n−1)。

输出格式

输出一个整数，表示输入灰度图像中处于较暗区域的像素总数。

代码实现

n,L,r,t = map(int,input().split())
graph = [[0 for i in range(n+1)]]
for i in range(n):
    graph.append([0]+list(map(int,input().split())))


#二维前缀和
sum = [[0 for i in range(n+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,n+1):
        sum[i][j] = graph[i][j] + sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]

count = 0
degree = 0

for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,n+1):
        x_s,x_e = (max(1,i-r),min(n,i+r))
        y_s,y_e = (max(1,j-r),min(n,j+r))
        count = sum[x_e][y_e] - sum[x_e][y_s -1] - sum[x_s-1][y_e] +sum[x_s-1][y_s-1]
        all = (x_e - x_s + 1) * (y_e - y_s + 1)
        aver = count/all
        if aver <= t:
            degree += 1

print(degree)